Liikumisest (järg 2)

• TONU 0.2. 26.06.2008
Zenoni apooria sisalduvusest erirelatiivsusteoorias.
01.01. Juba antiikajal hämmastas filosoofe induktiivse loogika kasutamise paradoksaalsus, kui seda rakendati intuitiivsele arutlusele ruumist, ajast ja liikumisest.
Aeg loeti absoluutseks ; ruumi paigutati Vaatleja, kes määras selles ruumis Cartesiuse ristkoordinaadistiku koos juba loodud geomeetria pöhipostulaatidega ja kokkuleppelise möödustikuga ; liikumist vaadeldi kui mingi vahemaa s läbimist selles ruumis ja selle liikumise kiirus v saadi s ja t suhtest. Geomeetria pöhipostulaatidest, kui aksioomidest, tulenes ruumi eukleidilisus. Ruumi loeti pidevaks : punktil puudus ruumiline ulatuvus ; joonel puudus ristsuunaline (normaali) mööde ; iga kahe punkti vahele vöis mahutada löpmata arvu teisi punkte ; joon moodustus punkti liikumisega tasapinnal, jättes endast “jäljena” trajektoori ; sellist puktide-joonte hulka hölmava ruumi vöimsust nimetatakse kontiinumiks .
TONU kahtleb sugavalt sellise punkti olemasolus, kuid on sunnitud sellega leppima, niikui mistahes matemaatiliste kokkulepete puhul, kui need on omaks vöetud aksioomide vöi postulaatidena .
Matemaatikute keeles ei vaadeldagi nii möistmatut asja, nagu “punkt”, eksistentsi, vaid möeldakse välja mingi (ummargune?) punkti ruumiline “umbrus”, nn. löpmata väikese suuruse möistena, mis piirprotsessis (näiteks abstsissi lähenemisel 0-le vm.) omandab väärtuse- ja asukohaga köik olemasolu tunnused. Selline vaatlus öigustab ennast, kui on huvitatus näiteks mingi keha raskuskeskme liikumisest ruumis, ja meid ei huvita keha pöörlemine selles. Ja loomulikult vöime siis arutleda, et selle raskuskeskme liikumisel tekib joonekujuline trajektoor, millel me vöime vaadelda mistahes ajahetkel selle “punkti” poolt trajektoorile “jäetud jälge” : asukohana ja vektoriaalse kiirusena (sellesse ruumipunkti kinnistunud vektorina, erinevalt tavalisest, nn.vabast vektorist).
01.02. Selline ruumi pidevus vöimaldab kontiinumi raames paradoksaalset arutlust nö. “lihtsate löpmatuste” induktiivsest mahtuvusest mistahes ruumiossa. Selliseks näiteks ongi Leibnitzi poolt pakutud “ruumiosa poolitamine”, millel teatud arvu poolituste järel – ei saa olla enam mateeria tunnuseid. Sellist vähimat mittepoolitatavat (ja iseseisvate tunnustega) osakest nimetas Leibnitz monaadiks.
Prof. Ed. Tennmann omistas monaadile ka eesmärgipärasuse, sihituse, ja löi sellest oma ilmavaate (pöhimötte, millega saab köike selgitada, kui on piisavalt andmeid).
Antiikajal tuli analoogse arutlusega välja Zenon, kes “poolitas” järjestikku kaugusi, mida liikumisel läbitakse.
Zenoni apooriate nime all saab töepoolest näidata, et liikumist ei eksisteerigi: Achilleus näeb kilpkonna mingil kaugusel endast ( ju ta siis on seda läbinud joostes teatud ajavahemikuga ) ja ta soovib kilpkonnasuppi; läbinud poole sellest vahemaast, on aga kilpkonn liikunud eemale oma endisest asukohast, …; kuitahes kiirelt ka A. ei jookseks, iga järjekordse poole järelejäänud vahemaa läbimise järel on kilpkonn oma endisest kohast lahkunud. Järeldus : Achilleus ei jöua kunagi kilpkonnale järele – on intuitiivselt väär, kuid induktiivsete
( väikeste järgnevate ) sammude kaupa loogiline. Zenon järeldas sellest, et liikumist ei olegi olemas. Sellist arutluse loogilist sisemist vastuolu ( apooriat ) ei saa lahendada arutluse-väliselt ( demonstreerides auditooriumi ees köndimist vm. ).
01.03. Esimesena rakendas selle apooria vastu matemaatilist aparatuuri Galileo Galilei, lubades ruumivahemaade teisendust mingitele kiirustele
( kilpkonna kiirusele v ) vastavalt.
Sellest : x`= x – vt , ( millest samaväärse nö. ruuminihke avaldis on : x = x` + vt , )kuigi sellise matemaatilise tehte ( samasuses tundmatute ulekannet vördusmärgi “teisele poole” ) öiguspärasust ei mötestata tavaliselt lahti. )
Zenoni apoorias sisaldub aga uhtlasi kaasaegne mötestatus “aegruumist”, milles signaaliks on Achilleuse jooksu- kiirus u , millega ta on möödistanud
( olgu vöi silmaga hinnanud ) esialgse kauguse kilpkonnast kui : x = ut .
Klassikalises ulesandes – kiirrongist kiirusel u ja kaubarongist kiirusel v – on samane lahendus-arutlus :
Jaamade A ja B vahemaa olgu ut , arvutame
a) Kusimus : kuidas “näeb” jaam B kaubarongi liikumist ? – teisendusfunktsiooniga : f (ut) = ut ( 1 – u/v ) ;
b) kusimus : kui kaugel jaamast A kohtuvad rongid ? – pöördteisendusfunktsiooniga : g (ut) = ut / ( 1 – u/v ) ;
c) kuidas väljendub vahemik ut liikuvas susteemis ? – mölema funktsiooni koostoimel : g ( f(ut) ) = ut .
01.04. Abstraktses matemaatikas on vöimalik teostada tehteid, pärimata nende olemusest vöi vöimalikkusest reaalsuses.
Sellest siis ongi tekkinud nn. pseudoeukleidiline ruum, milles aeg on suhteline, pikkused homoteetselt teisenenud – ja ega ikka kusida ei vöi :
mis muudab aega. kas aeg ise, mis jaotab liikumise trajektoori ? vöi kusija ?
02.01. Aksiomatiseeritud matemaatikas peab eriti tähelepanelik olema kasutatava intuitiivse loogika reeglistiku järgimisel ! Hulgateooria – ei saa läbi ilma valiku aksioomita . Miks siis ?
Induktiivne töestus koosneb loogilisest ahelast, alates mingist faktist, vaadeldes järgnevat … ja kui ka siis fakt on selline – alles siis vöib väita et ahela järgnevus on selgitatav leitud reeglistiku kohaselt. Sageli “unustatakse” arutluse loogikast tuleneva fakti, järgneva olukorra, sundmuse vöi vahemaa, olemasolu nöue . See on väär.
Sellise, väära, arutluse näitena toongi siinjuures klassikaliseks (heuristiliseks?) muutunud möttelise katse Paul Kard`i populaarteaduslikust teosest “Relatiivsusteooria peajooned”, prg. 11. “Aja relatiivsus” , lk.41 – 47 .
Toodud on mötteline katse, milles mingil alghetkel (t=0) asuvast ruumikohast O saadetakse valgussignaal “paremale”, ja samal alghetkel väljub punktist O kiirusel v vaatleja O` samas suunas.
Vaatlemiste ajavahemikeks on valitud 1 sekund (lihtsustuseks?) . Töepoolest : valgusfrondi kaugus O`-st suureneb liikumisteisenduse kohaselt ct – vt ; t = 1 ; x`= c – v ; Kuid kaugusele O`B` = ct jöuab valgusfront liikuvast vaatlejast O` ajavahemiku t = 1/ ( 1 – v/c ) järel ! nii et liikuvas susteemis endas liigub valgussignaal ikkagi samal kiirusel – kui … kui ikka on olemas selle signaali vastuvötja, kehal O`, kaugusel ct O`-st. Ja nimelt induktsioonist saame väita, et ka edaspidi kehtivad teisendusfunktsioonid f ja g ,niipea kui meil on vaatlusel selline kiirus v ,mida möödame valgussignaaliga c .
02.02. Valiku aksioom – ongi oma olemuselt nii signaali saatja kui ka vastuvötja olemasolu eeldamine. (Vrdl. Minkowski geomeetriast tuntud “sundmustevahelise intervalli jäävusega” !)
Eelnevas näites tuleb vaadelda nö. jäiku vardaid OB ja O`B` , öigemini nende otspunktide olemasolu ja omavahelist liikumatust.
02.03. Ajavahemike “tukeldamine” , poolitamine vöi suhtelisuse lubamine – ongi laskumine Zenoni apooria paradigmasse, lahendamatusse loogiliselt sisemisse vastuollu, mille lahendus ei ole reaalne, kuigi vöib olla matemaatiliselt kirjeldatav ( näiteks Minkowski geomeetria abil ) .
29.06.2008 , 20.01.2009