Liikumisest (järg 6)

TONU 1.1. 20.01.2009

Liikumisteisendustest aegruumis
01. TEISENDUSED on oma olemuselt vastavused , millega me vaatleme mingit mittetuhja hulka X teisenenuna mingis kokkuleppelises reeglistikus f hulgaks f (X) . Sellisel teisenemisel on matemaatiline kirjeldus :
vastavuse f ja selle pöördvastavuse g kujul , nii et g ( f ( X ) ) = X . Kui f (E) = F , st kui mistahes y jaoks hulgast F eksisteerib hulga E element x , selline, et y = f (x) , öeldakse, et f on hulga E surrektiivne vastavus hulgaks F ; et f on hulga E teisendus hulka F.
Kui hulga E vastavus hulka F on selline, et iga y jaoks eksisteerib ja on ainuke E element x , millejaoks ” f (x) = y ” ( teisitiöeldes: g ( /y/) = x avaldab uhtainsat elementi hulgast E ), nimetatakse f hulga E uksuheseks vastavuseks hulgaks F , ehk biektiivseks vastavuseks.
Kui f – on hulga E uksuhene vastavus hulgaks F , on vastavus
” y = f (x) ” funktsionaalne mitte uksi y , vaid ka x järgi .
Niikui funktsionaalne vastavus f x järgi, määrab g uksuhese vastavuse hulga F – hulgaks E , mida nimetatakse pöördvastavuseks ” g (y) = x ” ;
Selliselt määratletud hulkade vastavust matemaatiliselt ettekujutatavas aksiomatiseeritud nn. absoluutses ruumis AR , mille alamruumid on nii R (E) kui ka R (F) , nimetame RUUMITEISENDUSTEKS .
Teisenduse toime taastab PÖÖRDTEISENDUSE , nii et f ( g (y) ) = f(x) , teisenduste komposiidi (järjestrakendamise ) möttes, selle multiplikatiivses kujus , viies vaatleja nö. tagasi esialgsesse taustkeha ruumi . On saanud tavaks eristada teisendusfunktsioonide additiivset ja multiplikatiivset kuju : nende pöördvastavuste konkreetsel nimetamisel VASTANDFUNKTSIOONIKS ( teisendustehte – liitmise puhul ) ; ja vastavalt PÖÖRDFUNKTSIOONIKS ( teisenduse multiplikatiivsel kujul ) .
NB ! (Eelnevad möisted on tihti eksitavalt segiaetavad, mis on seletatav könekeelele omase mitmetähenduslikkusega .)
Eriti ilmekalt tuleb selline, loogiliselt vastuoluline, arutlus esile nimelt erirelatiivsusteooria populistlikes “selgitustes”, millega tegi algust juba
A. Einstein ise, kui arvutas nn. “einsteini rongi pikkust edasi-tagasi valgussignaaliga” .
Järgnevas olen sunnitud ikka ja jälle sellisele eksitusele tähelepanu pöörama :
mingil kiirusel v liikuva taustkeha F ruum teiseneb mingis vastavuses f ( E) , mis on söltuv ainult kiirusest v , mis on määratud F poolt läbitava teepikkusega mingis ajauhikus signaaliga u möödistatud taustkehal E , seda vöib tähistada kui TEISENDUSFUNKTSIOONI f ( v ) ; SEDA TULEB VAADELDA KUI TAUSTKEHA F MÖÖDETE MUUTUMIST vastavalt meile antud kiirusele v TAUSTKEHAL E ,
mis on möödetud signaaliga u . Seda tuleb vaadelda : kui ruumimöötmetele ut RAKENDATUD teisendusfunktsiooni f ( ut ) .
Käesolevas röhutab autor : ei ole keelatud vaadelda-mööta peegeldusteisendusi kujul f (-v) f(v)( ut ) = 1( ut ) , kuid see ei ole liikumisteisendus!
Fuusikaliselt saab sellisele vaatlusele anda interpretatsiooni kui PÖRKELE , milles Vaatleja taustsusteemis kohtuvad kaks vördsete massidega keha
( piljardikuuli ) vördsetel vastassuunalistel kiirustel (v) ja (-v) , ning mis , vahetanud omavahel kiiruste v suunad, jätavad paigale vaatleja V enda .
Sellisest arutlusest ongi pärit erirelatiivsusteooria pikkuste kontraktsioon teguriga : Lorentz-faktor gamma .
Ja selleks et säiluks arvutuslik (kogu)eukleidilisus, möeldi välja ka aja dilatatsioon ja pseudoeukleidiline ruum .
01.01. TEISENDUSFUNKTSIOONIDE ABELI RUHMAST .
Ruumiteisendused on funktsionaalsed alamruumide vastavused f , mis kirjeldavad signaaliga ( kiirusel u, c , … ) vaadeldavas ruumi ulatuvuses R (u) olemasolevaid kehasid , mis on omavahel liikumatud , taustsusteemina E , ning erinevaid taustkehi , omavahel liikuvaina , mingil signaali kiirusega vörreldavatel kiirustel v .
Liikumisteisendused on ruumiteisendused, mis on seotud mingite konkreetsete sundmustega ruumis, erinevates taustkehades : sundmusena vaadeldakse mingit protsessi mingis vaadeldavas taustsusteemis, mis toimub mingil ajahetkel t mingil kaugusel ut vaatlejast V , ning mis vöib koosneda erinevaist protsessi osadest nii ajaliselt kui ruumiliselt eraldatud jadadena. Sellise jada vöib moodustada : ” signaaliga taustsusteemi möötmine – signaali saatmisega mingil alghetkel t = 0 mingist möötmise algpunktist vaatlejal , selle signaali kättesaamine mingil teisel kehal selles susteemis, jne. ” ; vöi siis
” eelneva protsessi vaatlemine ajalis-ruumiliselt – teises taustsusteemis, mis liigub esialgse suhtes, mingis vaatleja orientatsioonis, suunas ja kiirusel v ” .
Asukohad ja kiirused paigutuvad vaatleja omaajas, alamruumis R(u) , MEILE ARVUTATAVALT : teisendusfunktsiooniga f ja tema pöördfunktsiooniga g , aegruumilistes möödetes f (ut) ja g (ut) .
Operatsioonisusteem selliste liikumisteisendus-funktsioonidega peab pöhimötteliselt mahtuma – Poincare` teisenduste ruhma , säilitades looduses täheldatavad neli invariantsusseadust :
1) nihe/luke : asukoha meelevaldsus loodusseaduste toimimisel – ruumi homogeensus ;
2) pööre : ruumi uksköiksus suundade suhtes – ruumi isotroopsus ;
3) ajanihe : ajahetke uksköiksus protsessi kulgemisele – aja homogeensus ;
4) liikumisteisendused : kiiruste muutumatus teisenevas ruumis – aja absoluutsus ;
Tösi, Poincare` kasutab Lorentz-teisendusi ja additiivset operatsioonisusteemi, mistöttu tema ruhmas on invariantne mitte aeg, vaid sundmustevaheline aegruum. TONU ei näe pöhjendusi muuta aega.
( NB ! Invariantsus-summeetriad 1 – 4 kehtivad täpselt ainult välistest möjudest isoleeritud susteemis , s.t. juhul, kui vöime mitte arvestada väliseid faktoreid ; reaalsetes susteemides on need öiged vaid ligikaudselt . )
Matemaatiliselt uheselt määratud funktsioon f ja tema pöördfunktsioon g omavad aegruumis R(u) konkreetset fuusikalist mötet :
f – määrab mingi taustkeha liikumise vaatleja taustsusteemis ;
g – möödab signaali liikumist teises susteemis, oma aegruumist vaadelduna ;
gf – pöördub tagasi algsusteemi aegruumi .
Antud juhul on asjakohane tuntud apooriline möistatus kolmest akadeemikust, kes öunapuuaias hobuselöunat pidades sugavalt uinusid , vihastades välja puu otsas kugeleva öunavarga, kes juba ammugi ära liduda tahtis . Karistuseks sellistele unistele loodritele vöttis see virk öunaraksija maast muda – ja määris sellega köigil kolmel targal otsaesised kokku . Ärganult pahvatasid targad homeeriliselt naerma , kuid äkki jäi uks neist murelikuna vait , seejärel teisedki. Miks ? ja kuidas sai esimene aru, et ta on naeruväärne ? . Asjakohane ongi siin arutlus :”nähtava” ja “pöördvaatluse” analoogias – vaatleja enda seisukohast .
01.02. Antud juhul on aegruumi vaadeldud invariantsusseadustele alluvaina, milles p.1. avaldub punktis 4. kujul :
r = ut ; nihe : r + vt` = r` ; teisendusena r` = r – vt ;
teisendusfunktsioonina f : r` = f (r) = f (ut) = ut ( 1 – v/u ) .
Näeme : nihe/luke – ei ole teisendus, vaid liikumise kirjeldus, mille vastuolulisust näitas juba Zenon, ja nimelt sellise apooria lukkaski umber Galilei teisendus . Meie vaatenurk ei luba vaadelda teisendusfunktsiooni enda sisus-kujus olemasolevaid tehteid
( liitmine, sisalduvus, järjestus, vöi mistahes lausearvutuse söna vöi term vms. ) teisendusfunktsioonide endi operatsioonisusteemina .
Ruhm on ise uheoperatsiooniline hulk, milles meie näeme multiplikatiivset järjestrakendamist, koos teisendus- ja pöördteisendus- funktsioonide määramis- ja muutumispiirkondade igakordse range eristamisega vastavais taustkehades. Tinglikult saabki seetöttu nimetada sellist ruhma : kommutatiivseks e. Poincare` Abeli ruhmaks.
Aegruumi isotroopsus avaldub ” uksköiksuses kiiruse v meile etteantud suuna ja suuruse suhtes “, mitte aga selle suunaga ristuvais ruumimöötmetes ( erirelatiivsusteoorias : kiiruse-sihilistes möötmeis ) .
02. Hulgateoreetiliselt mistahes ruumivaatlusel ( piisava mahutavusega ruumi , milles eksisteerivad erinevais liikumisis hulgad oma elementidega ), on tarvilik eeldada valiku aksioomi ( ka: Zermelo aksioomi ) kehtivust.
VALIKU AKSIOOM:
Olgu R / x, y / – vastavus uldise elemendi vahel x hulgast E ja uldise elemendi vahel y hulgast F.
Kehtib ekvivalentsus kahe alljärgneva Lause vahel :
” milline ka ei oleks x , eksisteerib selline y , et R / x, y / ”
ja
” eksisteerib selline hulga E teisendus f hulka F , et köigi x jaoks R / x ; f(x) / “.
Märkus: Valiku aksioomi nimetus on tulnud ebaönnestunult venekeelsest sönast “vöbor”, mis justnagu vöimaldaks meil(vaatlejaina) näidata vöi koguni väljavalida (?) mistahes elementi mingist hulgast. See ei ole nii. Täpsem oleks siis kas
” eksistentsi- vöi olemasoluaksioom “, mis välistaks opereerimise vöimaluse nö tuhjade hulkade ja olematute operatsioonidega.
Kahjuks aga nimelt valiku aksioomi eirab erirelatiivsusteooria, eitades mistahes reaalse taustkeha olemasolu vajadust nn relatiivsetes taustsusteemides: ja kahjuks opereerivad “Lorentz-teisendused” nimelt ruumi-vastavusega, mis ei ole teisendus hulgateoreetilises möttes ega seda vähem ruumi-vastavus, millel oleks korrektne pöördfunktsioon.
( On kerge näha, et erirelatiivsusteooria vastavused on leitud kahe erineva relatiivse ruumi-vahelise valgussignaali edasi-tagasi möttelise peegeldusteisendusega. A propos: millegipärast kinnitab siiani gumnaasiumi-matemaatika, et ka peegeldusteisendus – olevat liikumisteisendus (?). – Samamoodi on ju tautoloogiline arutlus, millekohaselt vaadeldakse liikumist teisendusega f(v), rakendatakse seejärel f(-v), ning eeldatakse kehtivat f(v) f(-v) = 1 (?) .
See ei ole midagi muud kui arutlus : SIGNAALI ABSOLUUTSUSEST, MITTE AGA SIGNAALI KIIRUSE JÄÄVUSEST – IGAS INERTSIAALSUSTEEMIS ERALDI ! )
Tuleb vaid ölgu kehitada ule saja aasta-taguse (aastast 1905) ruumivastavuse “sobitamise” ule aegruumidele, mida siiani “heuristilise jöuga” on kasutatud selle kriitikakatseis.
03. Galilei-Newtoni relatiivsusprintsiipi vöib sönastada: mis tahes taustkeha uhtlane ja sirgjooneline liikumine ei avalda mingit möju selles taustkehas kulgevatele mehhaanikaprotsessidele. Siinjuures esitab erirelatiivsusteooria kusitavuse : mille suhtes see taustkeha siiski liigub vöi on paigal ? – see on tautoloogiline kusimuse pustitus, mis on analoogne kuulsate Zenoni apooriatega, ja millekohaselt liikumist ei saagi olla.
Selle mötestas lahti Newton, eeldades (möttelise) absoluutse ruumi AR olemasolu, milles me arutleme liikuvaina olemasolevaid taustkehi ja erinevais liikumisis vaatlejaid. AR oli kui ruum, millesse paigutus Cartesiuse ristkoordinaadistik : vabalt valitud vaatlejaga koordinaatide algpunktis JA KOGU GEOMEETRIA AKSIOMAATIKAGA .
Absoluutse ruumi olemasolu otstarbetus ei ole samas sugugi nii silmnähtav. Vastupidi: tuleb vaid vaadelda kosmoloogilist Absoluutset Ruumi, milles materiaalsed kehad ja susteemid ei saagi pusida nö paigal, stabiilsetena, kuivörd on sunnitud liikuma AR suhtes oma nn loomulikus liikumises, seejuures pöörlevas-tiirlevas, kuna AR ise on ju suundadest söltumatu, isotroopne. Liikumise algimpulsi ja selle liikumise stabiilsuse saab tagada valguse homogeenne röhk – löpmatus ruumis, löpmatu aja kestel, löpmatult hulgalt valgusallikailt. (On möistetav, et mistahes AR-s paigalolev piisavalt suur (valguse röhu suhtes) materiaalne keha kas hakkab liikuma mingis suunas, vöi peab energia liiasuses plahvatama, viies siis juba oma osised nö loomulikku liikumisse.) Ja eks könekeeles vöibki ju väita, et Absoluutne Ruum on ainus ruum Looduses, milles puudub pusiv paigalolev mateeria. Ja kui me möödame valguse levimise kiiruseks mingis taustkehas (Maal) suuruseks c , siis on see kiirus samane ka teistes taustsusteemides, mis liiguvad meie suhtes uhtlaselt sirgjooneliselt, – ja vastupidi. Absoluutse ruumi olematuse-usk – on kui kuri usk Jumala olematusesse, jäädes ise usutasandile ateismi nime all.
Järgnevalt näeme, et mistahes mingile reaalsele Objektile ( rong, paat, vm ) omistatud kindel kiirus v paigalolevas taustkehas jääb konstantseks Objekti enda uleminekul mönda liikuvasse susteemi, kui see keha ” soovib säilitada oma objektsust ” , st jääda paadiks ( vöi paadialuseks ?).
Selle remarki kohta on tavaks öelda, et kindel kiirus ( nii u kui v ! ) on matemaatiline objekt, mis on meile antud ja millega me ei oska ega tahagi midagi peale hakata ( iseasi on , kuidas see kiirus näib teisest susteemist vaadelduna ) . Sellise kiiruse kandjat u , millega me oleme möödistanud Ruumi (!) ( vöi mötteliselt suutelised möötma köigi omavahel liikumatult eksisteerivate elementide asukohti selles ruumis ), (vrdl. footoniga) nimetame signaaliks , könekeeli saab selle möiste endale signaali kiirus (vrdl. valguse kiirus c ) . Selliselt vaadeldavat Ruumi vöime nimetada inertsiaalsusteemiks nii erirelatiivsusteoorias kui ka Newtoni möttes – taustkehaks.
Käesolevas ei erista autor logistiliselt : taustkeha kui mingit punktmassi esindavat objekti – Newtoni möttes nö. ulatuvusega taustkehast, milles ( vöi millel ) me endid kujutleme vaatlejaina – vaid toob arutlusse sisse : meid huvitava ulatuvusega alamruumid, millesse mahuvad kehad ja nende susteemid .
04. Olgu meil Ruumis R(u) taustkeha ( näiteks Maa ), milles Vaatleja arutleb. Valigu Vaatleja V mingi signaali u , millega ta möödistab paigalolevaid eksisteerivaid objekte asukohtadega r(u) , enda suhtes, asudes ise Cartesiuse ristkoordinaadistiku algpunktis O .
Vaatleja eeldab Ruumi eukleidilisust, suundade samaväärsust ja nende eelduste säilimist uhtlases sirgjoonelises liikumises. Sellises ruumis R(ut) on vöimalik mööta mingi reaalse keha liikumise kiirust kui vt , mis on seotud ruumimöödetega ut , nii et Vaatleja vöib end kujutleda liikuvale taustkehale vaatlejana V* ( praktiliselt saab seda vaadelda näiteks “rongis söitmisena”, milles eespool olev jaam läheneb rongile nimelt seosega ut – vt .)
Nimelt selliseks “relatiivseks vaatluseks” – loodi liikumisteisendused .
Meie arutluses kuulub ruum R(ut) alamruumina Newtoni Absoluutsesse Ruumi AR ,milles aeg on absoluutne.
Sellistesse alamruumidesse “mahuvad” köik omavahel taustkehadena seotud vaatlejad V* mistahes kiirustel v.
On selge, et möttetu on rääkida nö.” liikumisest sellise ruumi suhtes “, kuivörd “selles ruumis asuvate erinevate taustkehade ( erinevate kiiruste v ) vördlevast kirjeldusest, millest uks taustkeha V on reaalselt määratud koos tema suhtes paigalolevate eksisteerivate elementidega ( kehadega ) “. Samas omandab mötte R(ut) eristamine nö. absoluutsest ruumist AR -tema möödetava ulatuvuse poolest ( signaaliga u ) .
Galilei-Newtoni teisendus annab meile seosed V ja V* vahel: x = ( ut – vt) = ut(1-v/u) ehk f(ut) = ut(1-v/u).
Vaatleme raudteed ja vahemaid sellel aegruumilisena, möödetuna signaaliga K* kiirusega u.
Asugu mingil alghetkel jaamas A liikuv kaubarong A* kiirusel v ;
jaamast B ( kaugusel AB = ut ) väljugu samal alghetkel teine kaubarong B* samal kiirusel v , nii et nendevaheline kaugus ei muutu.
Saadame jaamast A kiirrongi K* sel hetkel kaubarongile B* järele ning vaatleme neid liikumisi Vaatlejaina nii A-s kui ka A*-s.
Leiame, et kaubarongi A * liikumine B jaoks on määratud :
x = ut; x` = ut (1 – v/u).
Leiame, et kiirrong K* saab kaubarongi B* kätte raudteel kohal :
x = ut; x* = ut/(1 – v/u).
On lihtne näha, et kui tähistame : x` = f (ut) ja x* = g(ut) ,
siis f (ut) = ut (1 – v/u) on funktsionaalne seos, olles teisendusfunktsiooniks, mille pöördfunktsiooniks on :
g (ut) = ut/(1-v/u), nii et g(f(ut)) = ut.
05. Näitena ! Vaatleme jöel liikuvaid 2 parve A* ja B* , jöevoolu kiirus olgu v . Jöekaldal asugu maantee. Mingil alghetkel t = 0 asugu parv A* kohal A ( kui sadamakai körval, millel asub kullerteenistus ), parv B* aga asugu teise kai ääres kohal B , nii et AB = A*B* = x = ut .
Olgu kullerteenistusel 2 amfiibautot K*(1) ja K*(2) , millede kiirused nii vees kui maanteel oleksid vördsed, suurusega u , nii et u = 2v .
Sellega vöime lugeda amfiibautod K* signaaliks u vastavalt endi taustkehades ( vees ja maal ).
// Eksitavaks tuleb liikumisteisenduse vaatlemisel lugeda kusimuse pustitamist : ” liikuva susteemi signaali u kiirusest jöel meie ( kui Vaatleja – maanteel ) suhtes ” ! See on intuitiivselt kull möistetav – ja koguni möödetav suurus – kuid ei kuulu teisenduse , kui liikumisteisenduse , möiste alla.
Kuulub aga: KIIRUSTE u ja v LIITUMISE ARVUTUSSE – JÖEL, _möödetuna Maal !_ (Samasihiliste kiirustena: u`=(u-v)/(1-v/u) , mis näitab jällegi mölema kiiruse, nii u kui ka v invariantsust – nii jöel kui maal.)
Vöi nagu on tavaks öelda: ei ole valesid vastuseid, kuivörd on vääralt pustitatud kusimusi. (Vt. järgnevas punktis ! ) ( Selline kusimus on tavaline koolimatemaatikast tuntuna kui nihke vöi lukke intuitiivne vastuolu : me nihutame joonisel kull mingi graafilise kujundi “edasi” , nii et see asub endisest kohast x kaugusel
( x + kt ) ,kuid teisendusena avaldub see ikkagi kujul x` = ( x – kt ) . ) //
Saadetagu 2 kullerit K* kailt A – TEATEGA eesliikuvale praamile, uks jöge mööda, teine piki maanteed.
Antud juhul avalduvad teisendused kujul :
f (ut) = ut(1-v/u) = ut /2; g (ut) = 2ut; f ( g (ut) ) = ut.
Oleme rangelt järginud signaali jäävust ( kiirust) mölemas susteemis eraldi.
Siinjuures f kirjeldab jöe inertsiaalsusteemi liikumist maa suhtes
( seega: parvede liikumist, möödetuna signaaliga u ) ;
g näitab TEATE kättesaamise kohta maal ;
fg aga näitab signaali u liikumist parvelt A* kuni parveni B* , kui Vaatleja asub liikumatult kailt A umber liikuvale parvele A* ,
nii et f g = 1 . Seega g näitab TEATE (signaali) kättesaamist VAATLEJA TAUSTSUSTEEMIS, funktsionaalse teisendusena eraldi taustsusteemides ( kujult sarnases nii jöel kui maanteel ) , kusjuures uleminek uhelt susteemilt teisele toimubki TEISENDUSE JA PÖÖRDTEISENDUSE DEFINITSIOONI KOHASELT (vt. p. 01.).
On ju selge, et vaatleja “taastagasitulek” esialgsesse taustsusteemi AB , möötmaks jöe kiirust maal, toimub nuud juba funktsionaalselt f ( g ( f (ut) ) ) .
06. “Terve möistuse” seisukohalt vöime alati kusida :
kumma kulleri saatmine oleks otstarbekam ?
Lihtne arvutus näitab, et parv B* saab jöeautolt signaali kätte vaatleja A jaoks kohal ut* =( ut + vt* ) ,
maanteel aga läbib kuller vahemaa ut / ( 1 – v/u ) , nii et K*(1) ja K*(2) läbivad mölemad vahemaa 2 ut .
Sellise kusimuse arutlus ” ei mahu ” aga nn. teisenduste Poincare` ruhma , sest vöimaldab spekulatsioone nö. pseudo-teisendustega, mis muudavad nii aega , ruumi kui ka meile antud kindlat kiirust v , koos selle suuna ja suurusega. On lihtne näha, et kui vaatleja ” näeb ” liikuvat taustkeha liikuvat kiirusel (-v) , siis sellise kehaga kaasaliikuva vaatleja V(-) jaoks on tagasiminek esialgsesse taustsusteemi kirjeldatav pöördfunktsiooniga g(-) , nii et kehtivad teisendused
x` = x + vt ;
kui x = ut , siis x` = ut( 1 + v/u ) = f(-) (ut) ;
ja vastavalt g(-) (ut) = ut / ( 1 + v/u ) ; f(-) ( g(-) (ut) ) = ut .
MÄRKUS : Erirelatiivsuses on tavaks tuletada Lorentz-teisendused nimelt peegelduteisendusena kujul f (v) f (-v) = 1 , nimetades neid funktsioone teineteise pöördfunktsioonideks ?! Selline arutlus on eksitav, sest ilmselgelt ei vii nende funktsioonide järjestrakendamine meid esialgsesse taustsusteemi . Need on vastandfunktsioonid additiivses ruhmas.
NB ! Arutle : kui x = ut ;
siis ( ut )* = ut + ( vt )* = ut / ( 1 – v/u ) .
Vt. näiteks teost PAUL KARD “Relatiivsusreooria peajooned”, Tln.: Valgus, 1980. , lk 41 – 47 .
// Kull tahaks teada, mida vastavad meie koolide mata-öpetajad öpilase vöimalikule naiivsele kusimusele : kas nihe “paremale” kujul ( x + vt )
on ikka teisenduse ( x – vt ) pöördteisendus ? Samas röhutan:
hulgateoreetiliselt teisendus peab olema funktsionaalne !Ja kiidaksin öpsi, kes möönaks seda töeseks – teisendustehete additiivsel kujul ( ! ), mitte mingil juhul aga multiplikatiivsel järjest- rakendamisel . //.
20.01.2009

Advertisements

Leppigem harimatusega,. kui see on objektiivne!

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Muuda )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Muuda )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Muuda )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Muuda )

Connecting to %s